时间复杂度 | 前端小白

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时间复杂度分析统计的不是算法运行时间，而是算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势。

“时间增长趋势”这个概念比较抽象，我们通过一个例子来加以理解。假设输入数据大小为 𝑛 ，给定三个算法 A、B 和 C ：

算法 A 只有1个打印操作，算法运行时间不随着𝑛增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为“常数阶”。

算法 B 中的打印操作需要循环𝑛次，算法运行时间随着𝑛增大呈线性增长。此算法的时间复杂度被称为“线性阶”。

算法 C 中的打印操作需要循环1000000次，虽然运行时间很长，但它与输入数据大小。𝑛无关。因此 C 的时间复杂度和 A 相同，仍为“常数阶”

相较于直接统计算法的运行时间，时间复杂度分析有哪些特点呢？

时间复杂度能够有效评估算法效率。例如，算法 B 的运行时间呈线性增长，在𝑛>1时比算法 A 更慢，在时比算法 C 更慢。事实上，只要输入数据大小𝑛足够大，复杂度为“常数阶”的算法一定优于“线性阶”的算法，这正是时间增长趋势的含义。

时间复杂度的推算方法更简便。显然，运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因此在时间复杂度分析中，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将“计算操作运行时间统计”简化为“计算操作数量统计”，这样一来估算难度就大大降低了。

时间复杂度也存在一定的局限性。例如，尽管算法 A 和 C 的时间复杂度相同，但实际运行时间差别很大。同样，尽管算法 B 的时间复杂度比 C 高，但在输入数据大小𝑛较小时，算法 B 明显优于算法 C 。对于此类情况，我们时常难以仅凭时间复杂度判断算法效率的高低。当然，尽管存在上述问题，复杂度分析仍然是评判算法效率最有效且常用的方法。

函数渐近上界

给定一个输入大小为𝑛的函数：

设算法的操作数量是一个关于输入数据大小𝑛的函数，记为，则以上函数的操作数量为：

是一次函数，说明其运行时间的增长趋势是线性的，因此它的时间复杂度是线性阶。

我们将线性阶的时间复杂度记为，这个数学符号称为大记号（big-𝑂 notation），表示函数的渐近上界（asymptotic upper bound）。

时间复杂度分析本质上是计算“操作数量 ”的渐近上界，它具有明确的数学定义。

💡

若存在正实数和实数，使得对于所有的，均有，则可认为给出了的一个渐近上界，记为

如下图所示，计算渐近上界就是寻找一个函数，使得当趋向于无穷大时，和处于相同的增长级别，仅相差一个常数项的倍数。

推算方法

渐近上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，也无须担心。我们可以先掌握推算方法，在不断的实践中，就可以逐渐领悟其数学意义。

根据定义，确定之后，我们便可得到时间复杂度。那么如何确定渐近上界呢？总体分为两步：首先统计操作数量，然后判断渐近上界。

1.统计操作数量

针对代码，逐行从上到下计算即可。然而，由于上述中的常数项可以取任意大小，因此操作数量 中的各种系数、常数项都可以忽略。根据此原则，可以总结出以下计数简化技巧。

忽略 中的常数项。因为它们都与无关，所以对时间复杂度不产生影响。

省略所有系数。例如，循环次、次等，都可以简化记为次，因为𝑛前面的系数对时间复杂度没有影响。

循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用第 1. 点和第 2. 点的技巧。

给定一个函数，我们可以用上述技巧来统计操作数量：

以下公式展示了使用上述技巧前后的统计结果，两者推算出的时间复杂度都为。

2.判断渐近上界

时间复杂度由中最高阶的项来决定。这是因为在趋于无穷大时，最高阶的项将发挥主导作用，其他项的影响都可以忽略。

下面展示了一些例子，其中一些夸张的值是为了强调“系数无法撼动阶数”这一结论。当趋于无穷大时，这些常数变得无足轻重。

不同操作数量对应的时间复杂度

操作数量 𝑇(𝑛)	时间复杂度 𝑂(𝑓(𝑛))
100000

常见类型

设输入数据大小为，常见的时间复杂度类型下所示（按照从低到高的顺序排列）。

常数阶

常数阶的操作数量与输入数据大小无关，即不随着的变化而变化。

在以下函数中，尽管操作数量 size 可能很大，但由于其与输入数据大小 𝑛 无关，因此时间复杂度仍为：

线性阶

线性阶的操作数量相对于输入数据大小以线性级别增长。线性阶通常出现在单层循环中：

遍历数组和遍历链表等操作的时间复杂度均为，其中为数组或链表的长度：

值得注意的是，输入数据大小需根据输入数据的类型来具体确定。比如在第一个示例中，变量为输入数据大小；在第二个示例中，数组长度为数据大小。

平方阶

平方阶的操作数量相对于输入数据大小以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环的时间复杂度都为，因此总体的时间复杂度为：

对比了常数阶、线性阶和平方阶三种时间复杂度。

以冒泡排序为例，外层循环执行次，内层循环执行𝑛−1、𝑛−2、…、2、1次，平均为次，因此时间复杂度为

指数阶

生物学的“细胞分裂”是指数阶增长的典型例子：初始状态为1个细胞，分裂一轮后变为2个，分裂两轮后变为4个，以此类推，分裂轮后有个细胞。

下面代码模拟了细胞分裂的过程，时间复杂度为

在实际算法中，指数阶常出现于递归函数中。例如在以下代码中，其递归地一分为二，经过次分裂后停止：

指数阶增长非常迅速，在穷举法（暴力搜索、回溯等）中比较常见。对于数据规模较大的问题，指数阶是不可接受的，通常需要使用动态规划或贪心算法等来解决。

对数阶

与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半”的情况。设输入数据大小为，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是，即的反函数。

以下代码模拟了“每轮缩减到一半”的过程，时间复杂度为，简记为

与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数中。以下代码形成了一棵高度为的递归树：

对数阶常出现于基于分治策略的算法中，体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。它增长缓慢，是仅次于常数阶的理想的时间复杂度。

线性对数阶

线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为和相关代码如下：

下图展示了线性对数阶的生成方式。二叉树的每一层的操作总数都为，树共有层，因此时间复杂度为。

主流排序算法的时间复杂度通常为，例如快速排序、归并排序、堆排序等。

阶乘阶

阶乘阶对应数学上的“全排列”问题。给定个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，方案数量为：

阶乘通常使用递归实现。如下代码所示，第一层分裂出个，第二层分裂出个，以此类推，直至第层时停止分裂：

请注意，因为当时恒有，所以阶乘阶比指数阶增长得更快，在较大时也是不可接受的。

最差、最佳、平均时间复杂度

算法的时间效率往往不是固定的，而是与输入数据的分布有关。假设输入一个长度为 𝑛 的数组 nums ，其中 nums 由从 1 至 𝑛 的数字组成，每个数字只出现一次；但元素顺序是随机打乱的，任务目标是返回元素 1 的索引。我们可以得出以下结论。

当 nums = [?, ?, ..., 1] ，即当末尾元素是1时，需要完整遍历数组，达到最差时间复杂度。

当 nums = [1, ?, ?, ...] ，即当首个元素为1时，无论数组多长都不需要继续遍历，达到最佳时间复杂度 。

“最差时间复杂度”对应函数渐近上界，使用大记号表示。相应地，“最佳时间复杂度”对应函数渐近下界，用记号表示：

值得说明的是，我们在实际中很少使用最佳时间复杂度，因为通常只有在很小概率下才能达到，可能会带来一定的误导性。而最差时间复杂度更为实用，因为它给出了一个效率安全值，让我们可以放心地使用算法。

从上述示例可以看出，最差时间复杂度和最佳时间复杂度只出现于“特殊的数据分布”，这些情况的出现概率可能很小，并不能真实地反映算法运行效率。相比之下，平均时间复杂度可以体现算法在随机输入数据下的运行效率，用 Θ 记号来表示。

对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 1 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数就是数组长度的一半，平均时间复杂度为。

但对于较为复杂的算法，计算平均时间复杂度往往比较困难，因为很难分析出在数据分布下的整体数学期望。在这种情况下，我们通常使用最差时间复杂度作为算法效率的评判标准。

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为什么很少看到符号？

可能由于符号过于朗朗上口，因此我们常常使用它来表示平均时间复杂度。但从严格意义上讲，这种做法并不规范。在本书和其他资料中，若遇到类似“平均时间复杂度”的表述，请将其直接理解为。

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本文摘抄自Hello 算法